早安，苦命工程師的胡言亂語

前言：

之前我的物理心得筆記的其中一篇 BLOG ，有幫大家交代並推導了光學上多層膜的反射率物理公式(按這裡進入這篇BLOG)。接續的另一篇，有交代了一些這個光學多層膜反射率物理公式的一些應用(按這裡進入這篇BLOG)。

結果有網友跑來問了，那對於單層的抗反射膜，我們有一個很有名的公式，當這層膜的折射率 n 等於 n0* nt 的開根號時 n = sqrt(n0*nt) ，這時候這個抗反射膜反射率會是最小的，這個公式怎麼來的？

這裡，幫忙推導如下囉，反正這也是物理心得筆記的一部分囉！

公式推導：

前面，我們把馬克士威爾方程式用在單層的光學薄膜上，光從折射率 n0 的介質出發，穿過 折射率 n, 厚度 d 的薄膜, 最後抵達折射率 nt 的介質，垂直入射薄膜時，光的電場強度需要滿足下面兩個方程式。(整個前因後果，請仔細看這篇 BLOG 的推導。)

電磁波(光)的電場強度需要滿足下面這兩個方程式

反射率 r, 穿透率 t 的定義如下

所以上面兩個方程式變成這樣

這時候，從這個聯立方程組把 r, t 解出來，你就得到單層抗反射薄膜的反射率跟穿透率的公式囉。

在這裏，不用這麼麻煩全部解出來，因為我們只是要知道單層抗反射薄膜，最佳的折射率 n 應該是多少。

因為是抗反射膜，所以它的厚度 d 乘上折射率 n 一定是1/4波長的奇數倍而有相消性干涉，此時 kd = pi/2 的奇數倍

所以此時

帶入簡化整個 r, t 聯立方程組

我們只對反射率r有興趣，兩式相除消去t

把 r 給解出來吧，乘開後化簡

所以, r 的解如下

光強，電磁波的強度反射率 R = r^2

我們求得了單層抗反射膜滿足1/4波長相消性干涉的折射率公式囉！

當 n0*nt - n^2 = 0 的時候，反射率為最小，等於零。

所以得到我們要的條件囉，單層抗反射膜最佳折射率等於 n0* nt 的開根號， n = sqrt(n0*nt)

此時1/4波長位置的反射率可以為零。

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