早安，苦命工程師的胡言亂語

前言：

因為最近工作上難免會稍微碰觸到的議題，身為愛唬爛的的唬爛科系(物理系)學生，自然是發憤圖強，趕快去翻翻大學一年級所上過的普通物理學教材：費因曼物理學講義，好好地複習一下，心得整理了一下。說什麼也要好好增加自己唬爛的功力啊。

所以根據費因曼物理學講義，整理了這篇旋轉座標系下的科氏力 Coriolis Force ，物理心得筆記，以後自己忘記了也可以回來快速查閱使用。

科氏力 Coriolis Force 的歷史:

底下的文字，部分來自於維基百科。寫得蠻清楚，有興趣的也可以過去參考一下。

科氏力是以牛頓力學為基礎的。1835年，由法國氣象學家和工程師科里奧利提出，為了描述旋轉體系的運動，需要在運動方程式中引入一個假想的力，這就是科氏力。引入科氏力之後，人們可以像處理慣性系中的運動方程式一樣簡單地處理旋轉體系中的運動方程式，大大簡化了旋轉體系的處理方式。由於人類生活的地球本身就是一個巨大的旋轉體系，因而科氏力很快在流體運動領域取得了成功的應用。

要提的，科氏力跟我們另外一個非常熟悉的假想力，物體圓周運動下的向心力(或離心力)是非常類似的。只不過圓周運動在我們日常生活中比較常遇到，所以我們對它比較有感覺，認識跟體驗得比較清楚。而科氏力雖然在我們旋轉的地球座標系上也是隨時存在的，但因為尺度相差很多，所以我們感覺就沒有如此真確囉。如果對科氏力的理解有困難的話，把它用向心力(或離心力)來類比，就可以比較清楚的認知它囉。

科氏力 Coriolis Force 的由來:

科氏力起源於坐標系的旋轉時，不同座標下觀察者對牛頓運動方程式所呈現出來的不同軌跡的一種物理現象。它不能簡單地說是一種虛擬的力，在某種情況下是虛擬的；在另一些情況下它是真實存在的力。無論如何，它的真正起源都是因為質點相對於旋轉參考系的運動而產生的。而什麼時候是虛擬的，什麼時候是真實存在的力，要看觀察者所在的座標而定。

首先，(1)

當質點相對於旋轉參考系做慣性運動時，從旋轉參考系來看，不存在科氏力，但從慣性參考系來看，質點在做非慣性運動，必然是有外力的作用，此時，科氏力是真實存在的，施力者要麼是旋轉的物體，要麼是別的什麼，總之，這個科氏力是一個有實質性起源的力。

其次，(2)

當質點相對於慣性參考系做慣性運動時，從慣性參考系來看，不存在科氏力，但從旋轉參考系來看，質點在做非慣性運動，此時，科氏力僅僅是質點相對於旋轉參考系的運動而產生的現象，這時的科氏力是虛擬的。

要如何分辨 (1) 跟 (2) 呢？

來看維基百科底下這張解釋科氏力的圖，想像一下，假設圓盤是地球的北極，黑色的彈珠是飛機從北極的極點以固定的速度v往南飛。

正常的狀況下，飛機雖然筆直的往南飛，但因為地球會自轉，所以飛機上的人以為飛機正以固定的速度v往南飛，但因為地球自轉的關係，地球上的人看到飛機的航線會是一個彎曲的軌跡。

飛機的飛行，跟地球自轉一點關係也沒有，所以從飛機的慣性參考系來看，不存在科氏力。但地球上的人看到飛機的航線會是一個彎曲的軌跡，從地球的參考系來看，飛機在做非慣性運動，所以一定存在一個力量讓飛機改變方向才可以有這樣的軌跡，這個力量就叫科氏力。這是狀況(2) 地球上的人認為飛機受到一個虛擬的科氏力的作用，以至於飛機改變了飛行的方向。

同樣是上面的這張圖的另一個狀況，

因為有地球自轉所造成的「虛擬」科氏力的影響，雖然飛機努力「筆直」的往南飛，想要飛到某個城市。可是這個「虛擬」科氏力會讓飛機在地球上的航道不是筆直的，而是彎曲的，這樣就永遠到不了所到的地方。為了要讓飛機能在地球上的航道是筆直的，這時候飛機上的導航系統必須讓飛機產生一個逆向的真實科氏力抵銷虛擬科氏力，這時候換成飛機上的慣性參考系來看，飛機的軌跡是彎曲的了，在做非慣性運動，所以必然是有外力的作用，此時，科氏力是真實存在的(導航系統所產生的)。所以此時是狀況 (2)

送上科氏力的廣義向量公式:

科氏力的計算公式如下: 

式中  為科氏力，；m為質點的質量； 為質點相對於旋轉參考系的運動速度； 為旋轉參考系的角速度；

科氏力為質點質量，旋轉參考系角速度，質點運動速度，三個量的乘積跟 Sin(角速度跟質點運動速度夾角)的乘積。方向為外積的方向。

隨處可見的科氏力 Coriolis Force 現象

地球因為緩慢地以 7.292E-5 rad/sec 的角速度旋轉著 (請參考我這篇 Blog) ，是一個巨大的旋轉座標系。所以任何物體只要在地球上面以速度 v 移動，必定產生一個「虛擬」科氏力，造成地球上的我們看到物體受到這個「虛擬」科氏力的影響，而造成軌跡的改變。

最明顯的例子，就是上面舉例的「飛機」

地球的角速度向量，順時針旋轉，右手原則所以是從北極往上w。飛機速度 v, Fc = -2m w x v

所以很明顯的，在南北極， w x v = w*v* sin(0) = w*v 此時科氏力最大， Fc = -2m*w*v ，方向為垂直運動的方向。

北半球從南往北飛時，根據公式飛機會感受一個往東邊的科氏力，造成地球上的人看到飛機往東邊的方向偏。

南半球從南往北飛時，根據公式飛機會感受一個往西邊的科氏力，造成地球上的人看到飛機往西邊的方向偏。

在赤道的時候，往南北方向飛 sin(0) = 0，此時科氏力為零。往東西方向飛的話，sin(90) = 1，但是外積方向是朝上下的，所以很有趣的我們會看到飛機往上偏跟往下偏。(愈飛愈高，跟愈飛愈低) 有趣吧！

另外一個有名的現象就是颱風的形成囉。

因為科氏力的關係，空氣分子流動的時候會受到側面科氏力的推動而改變方向，所以就慢慢形成氣旋的現象，最後規模大到某個程度，就變成颱風囉。

底下藍色就是空氣分子流動受到科氏力影響後的軌跡，所以北半球的颱風是順時針轉動的。而南半球的颱風就變成逆時針轉動囉。

費因曼物理學講義

那，到底這個公式怎麼來的啊？

有請諾貝爾物理獎得主，量子電動力學理論創建的大師，費因曼先生來為我們解說囉。底下的推導跟論述來自於費因曼物理學講義

費因曼利用一個旋轉木馬的例子，讓我們推導可能的科氏力公式囉！

假設現在有位叫做 Moe 的男士，坐在一個正在旋轉的旋轉木馬中。旋轉木馬的旁邊(地面)有位叫做 Joe 的觀察者。這個旋轉木馬通過圓心有畫了直線的，所以 Moe 可以很準確的沿著旋轉木馬的直徑線直線移動並通過圓心。

我們假設 Moe 先生的質量是 m，r 為 Moe 先生距離圓心的距離，因為旋轉木馬不斷以角速度 w 轉動著，所以 Moe 先生的角動量為 L = r x p = r (mv)

所以可以發現，當 Moe 先生越靠近旋轉木馬的圓心，角動量越小。越遠離旋轉木馬的圓心，角動量越大。所以只要 Moe 先生在旋轉木馬內沿著直徑直線走動時，雖然是徑方向的走動，但是因為角動量改變了，所以根據轉動的牛頓定律，必然伴隨有力矩的產生。

根據轉動的牛頓力學定律，角動量對時間的改變就是力矩

所以，

立刻我們得到這個造成角速度改變的神秘力矩的施力大小的公式

Fc = 2mw*dr/dt

這個神秘力矩的施力就是科氏力，所以我們得到科氏力大小的公式囉！ ( dr/dt = Vr)

科氏力 = 2 * 物體質量 * 旋轉座標角速度 * 物體垂直方向移動的速度

然後讀者一定又要抗議惹，雖然你已經推導出科氏力大小的公式了，但是它到底本質是怎麼來的啊，還是不清不楚的咩！

別慌，別慌，費因曼又再解釋囉，這時候該在地面上的 Joe 出場囉！

假如今天 Moe 先生在旋轉木馬內沿著直徑直線往圓心走動，並通過圓心這時候 Moe 跟 Joe 會看到如下的移動軌跡。

Moe 會看到他是沿著旋轉木馬內的直徑直線走動的，直線 1, 2, 3

而 Joe 看到就不是那麼一回事囉，他看到的是 Moe 的軌跡是通過 點1, 點2, 點3 的曲線！ Joe 會覺得， Moe 似乎正受到一股神秘的力量，和他的行進方向垂直，不斷地在改變 Moe 的行進方向。因為即使在旋轉木馬的圓心點2，曲線依舊完美的彎曲著，所以肯定有個神秘的力量正在運作著。

這個力量就是我們剛剛算出來科氏力，根據我們推出來的公式，確實一個很讓人驚訝的特性，這個神秘的力量跟 Moe 所在的位置無關，只跟 Moe 移動的速度有關係。即使 Moe 在旋轉木馬的圓心，他依舊會感受到這個神秘的力。

假如今天 Moe 不是沿著旋轉木馬內的直徑直線走動，而是沿著旋轉木馬的半徑 r 的圓周逆時針以VM的定速移動，這樣又會發生什麼事呢？

這時候 Joe 看到 Moe 會以下面的速度沿著半徑 r 做圓周運動

所以帶入向心力公式並展開， Moe 會真實感受到底下的向心力

展開後一共分三項，

第一項沒有問題，就是 Moe 因為沿著旋轉木馬做圓周移動所會產生的向心力，只要 Moe 這樣移動，即使旋轉木馬不轉動，他也會感受到這項力。

第三項也沒問題，就是旋轉木馬以w角速度轉動時，帶動 Moe 所給的向心力，即使 Moe 不移動，只要旋轉木馬轉動，他就會感受到這項力。

第二項，那個神秘的力量，兩倍的質量，速度，角速度乘積的科氏力又出現了。有趣的是，它跟向心力是同方向，也就是永遠跟行進方向垂直。當速度是切線方向的時候，這個神秘的力就會徑向的。