前言：

最近在複習我的 Python 語言，有個小小的發現，所以記錄一下到我的部落格裡面，

大家都知道， Python 假如要使用數學的三角函數，需要 import math 數學函數模組進來。這裡來個簡單的數學小挑戰，假如不用數學模組，也不准用級數展開，可以不可以直接算出數學上的 Sin(x), Cos(x) 函數呢 ?

複數：

Python 是很特殊的語言，它居然直接支援複數的算術運算耶，而且還是系統內建的。這樣可好玩了，基本數學的三角函數不是內建的，然後複數運算居然是內建的。然且讓人驚異的是，系統對複數的數學運算支援得非常完整，連複數的n次方運算 (x^n) 都完全的支援。

這下可好了，這樣不是直接用尤拉公式直接可以算出 sin(x), cos(x) 了呀，何須import math 數學函數模組了咩！(來玩一下好玩的數學吧)

尤拉公式 (Euler's Formula)：

物理系學生絕對不陌生的，大名鼎鼎，於1748年所發表的尤拉公式

這個公式是說，一個自然對數底e (=2.718281828...) 的純虛數 ix 次方，最後會變成跟三角函數有關，等於 cos(x) 加上虛數的 sin(x)。

真得是很神奇的公式餒，看似無關的指數，透過這個公式，居然會跟三角函數關聯在一起。

尤拉公式在數學、物理和工程領域應用廣泛。物理學家理察·費曼將尤拉公式稱為：「我們的珍寶」和「數學中最非凡的公式」。舉例來說，我們會利用複數來求解微分方程，或偏微分方程式。我們會利用尤拉公式中的 sin(x), cos(x) 恰為弦波的特性，利用複數平面把弦波變成 e(ix) 的自然對數的指數，這樣微分方程就很容易跟符號上可以很精簡漂亮地被求解出來囉。

所以導致電學上常見的，交流下的歐姆定律，其電抗是個複數，其實跟這個公式有關。

電磁波裡有名的 Smith Chart，傳輸線理論裡面無處不見的阻抗，阻抗匹配，跟這個這個公式有關，是個複數。

光學上，折射率也跟這個這個公式有關，是個複數，虛數部分被叫做消散係數，用來度量隨指數形式衰減的情況...

...

真的是太多太多囉，只要是跟弦波有關，大概就逃不出這個公式的影響。

Python 程式：

既然尤拉公式這麼直接串連了三角函數，讓我們用它來算 SIn, Cos 囉。

假如我們有 x, y 兩個數字， Python 系統是直接支援 x**y 就 x的y次方的數值計算的。 (在其他語言系統下，被記為 x^y，或 pow(x,y))

而且如同前面所說的. Python 系統完全支援複數，所以 x, y 可以是複數。

所以根據尤拉公式，假如我們要計算 sin(1.234) 跟 cos(1.234) 的數值，其公式如下

2.718281828 ** (1.234 i) = cos(1.234) + i sin(1.234)

所以只要將 2.718281828 自然對數的底，把它用純虛數的 1.234 i 次方，這樣會得到一個複數，它的實數部分會是 cos(1.234) ，而它的虛數部分會是 sin(1.234)

所以， Cos(x) 可以這樣定義囉

def cos(x):

return (e**((1j)*x)).real # e 為 2.718281828

就計算 2.718281828 ** (j*x) 然後取實數部分.

Sin(x) 可以這樣定義

def sin(x):

return (e**((1j)*x)).imag # e 為 2.718281828

就計算 2.718281828 ** (j*x) 然後取虛數部分.

這樣就搞定囉，數學非常有趣吧。

就讓我們 import pyplot 模組，很快的把 sin(x), cos(x) 畫出來吧

x = [ float(x)*pi/50 for x in range(0, 100) ]

list comprehension, 利用 range(0, 100) 這個 0-100 的迭代器產生 0 - 100 之間的整數。 for-loop 至 x 後，float(x) 轉成浮點數乘上 pi/50，所以變成 0 - 2pi 之間總共 100點的 x 數據點

c = [ cos(xx) for xx in x ]

list comprehension, for-loop 利用 x 的 100點數據點算 cos 值

s = [ sin(xx) for xx in x ]

list comprehension, for-loop 利用 x 的 100點數據點算 sin 值

然後 plot()

漂亮的 sin(x) 跟 cos(x) 曲線就出現啦！

原始程式及結果

這邊用好用的 Jupyter Notebook 來產生漂亮的原始碼跟結果，並輸出成 html 貼入部落格文章中，放在下面就非常漂亮囉。

In [2]:

#
# sin(x) cos(x) by euler formula
#
#    Frank Lin 2023.03.07
#

import matplotlib.pyplot as pyplot

e  = 2.718281828
pi = 3.14159265358979

# cos(x)

def cos(x):
    
    return (e**((1j)*x)).real

# sin(x)

def sin(x):

    return (e**((1j)*x)).imag

# calculate data for plot

# List comprehension for x, cos(x), sin(x)

x = [ float(x)*pi/50  for x in range(0, 100) ]  

c = [ cos(xx)  for xx in x ]

s = [ sin(xx)  for xx in x ]

# plot by pyplot

# plot data

pyplot.plot(x, s, 'c', label = 'sin(x)') # 'c' -> cyan color
pyplot.plot(x, c, 'y', label = 'cos(x)') # 'y' -> yellow color

# plot legend

pyplot.legend()

# show it

pyplot.show()