早安，苦命工程師的胡言亂語

我們知道, 星星會在天空中慢慢的隨時間移動. 而且, 不同的位置, 移動的方向跟速度都不太一樣. 假如要做天文攝影, 第一個必須要解答的事情就是要想辦法知道不同的星星, 在天空中精確移動的速度!

由天文小常識2 我們知道, 我們感興趣的不是星星真實的速度, 我們感興趣的是星星在天空不同位置下移動的角度速度. 例如每秒會移動多少弧秒 (arcsecond), 或是每秒會移動幾度, 這種角度隨時間的變率. 這裡就試著利用簡單的向量分析來推導這樣的公式吧!

由天文小常識1, 我們已經知道天上的星星可以假想是投影在一個天球上. 因為地球自轉的關係, 所以地球上的觀察者會認為天球以地球自轉相同的轉動速率但相反的方向慢慢轉動著!

球座標系統:

先來個球座標吧!

假如你唸過力學或是電磁學, 應該會對這樣的球座標系統特別的熟悉啦! 其實整個赤道座標系統, 就是一個球座標系統啦! 任何星星或天體的位置都可以用 (r, theta, phi) 來標定.

視角移動公式推導:

這裡假設天球繞著 Z 軸轉動, 星星或任何天體是有個距離座標軸原點距離 r 的, 這個距離 r 應該每個星星都不一樣.

不過不是說它們都投影到天球上嗎! 所以這個距離 r 的值是多少就不重要了.

先假設這裡有個星星, 一開始在 r1 向量的位置. 經過 ∆t 時間後 跑到 r2 向量的位置. 因為星星並沒有動, 動的是我們觀測者自己. 所以星星跟我們距離前後都沒變. 所以 r1 和 r2 向量的大小需要一樣的, 這裡把它定義為 r

各向量關係如下

我們知道天球正沿著 Z 軸轉動 (其實是地球上的觀察者自己在轉), 轉動的角速度為 ∆phi / ∆t

r1 向量, r2 向量 兩向量夾角的角速度定義如下

簡單的關係式 1 :

簡單的關係式 2 :

最後求出:

所以要知道天上星星移動的視角速度, 只要知道它所在位置球座標的 theta 角.

星星移動視角速度 = 地球自轉速度 x sin(theta)

由之前的天文小知識我們知道, 地球自轉速度 = 15.041" (弧秒) 每秒

所以

星星移動視角速度 (每秒) = 15.041" x sin(theta) 

這結果其實蠻直覺的啦! 靠近天球赤道的地方 Sin(90°) = 1, 所以轉動的速度跟地球自轉一致.

靠近天頂的地方 Sin(0°) = 0, 這附近的星星例如北極星, 就轉動得很慢阿!

赤道座標系統:

真實的赤道座標系統用赤經 (Right Ascension) 跟赤緯 (Declination) 來描述星星. 

赤緯 (Declination) 的定義並不是以這裡的球座標自轉軸 Z 軸來當起點的, 而是天球的赤道當起點. 往上(北極)符號為正, 往下(南極)符號為負.

所以這裡球座標的 theta 滿足:

 90° - 赤緯 (Declination) = theta

最終公式:

星星移動視角速度 (每秒) = 15.041" x sin(90° - 星星位置之赤緯) 

範例:

1. 來計算一下 M42 獵戶做大星雲在天空中移動的視角速度吧:

獵戶座 M42 大星雲在天球中的位置:

赤經: 05^h 35^m 17.3^s

赤緯: -05° 23′ 28″

所以套入公式

獵戶座 M42 大星雲在天空中移動的視角速度為 = 15.041" x sin(90° - (-05° 23′ 28″))  = 15.041" x sin(95° 23′ 28″) = 15.041" x sin(95.3911°) = 15.041" x 0.9956 = 14.945" 每秒

約 4.01分鐘會移動一度的距離!

2. 來計算一下 明亮的夏日大三角, 天鵝座的天津四, 在天空中移動的視角速度吧:

天鵝座的天津四在天球中的位置:

赤經: 20h 41m 25.9s

赤緯: +45° 16' 49"

所以套入公式

天鵝座的天津四在天空中移動的視角速度為 = 15.041" x sin(90° - 45° 16' 49")  = 15.041" x sin(44° 43′ 11″) = 15.041" x 0.7036 = 10.5834" 每秒

約 5.67分鐘會移動一度的距離!

知道實際的視角移動的速度後, 接下來我們就可以做更多的計算囉.

例如, 天文攝影時, 在底片上星星不會位移的最長相機拍攝曝光時間.

最後, 附上以上面公式所計算出來的, 在不同位置下, 星星移動的視角速度的結果.