門板追星儀 Barn Door Tracker:
話說最近為了補充天文知識, 因為台灣國內天文這類的書籍比較少, 所以跟 Amazon 買了幾本基礎天文觀測跟攝影的的書籍. 某天, 不經意翻到其中有一本非常棒的書的其中一頁. 這是這本書的 DIY 章節啦. 看到一個兩片木板夾起來的東東. 這是啥呀! Barn Door Tracker. 看了書上的介紹, 他說這是一種很簡單的追星儀.
啥?? 追星儀??
再仔細端詳了一下整個設計, 頓時頓悟, 哇! 太強了! 也太妙了!
真的是追星儀耶!
哎! 歪國人果真強大啊! 才剛買了一台美金 $400 貴森森的 Vixen Polarie Star Tracker 追星儀. 結果人家花不到美金 $20, 用兩片木板, 幾個螺絲就做出來了. (跪倒在地)
在 Getting Started: Budget Astrophotography 書上所看到的門板追星儀, 簡單摘錄兩張照片. 這本真的是很棒的天文攝影入門書, 有興趣的人, 強烈建議擁有.
後來, 知道有這麼簡單, 兩片木板做成的追星儀後. 透過 google 大神, 發現更多網路上這個 Barn Door Tracker 的詳細資料.
參考資料1: Constructing a Barn-Door Tracker
參考資料2: Nightscape Photography with a Barn Door Tracking Mount
最後, 甚至連步進馬達的版本也有一堆啊.
參考資料3: Barn Door Tracker
這麼簡單的 DIY 東東, 我們當然也是要想辦法來自己做一個囉. 要做之前, 先瞭解一下原理吧. 順便分享一下給需要的人啦! ^__^ V
門板追星儀的原理:
追星儀的主要功能, 其實就是一個微型赤道儀. 一聽到 '赤道儀', 名詞好像很嚇人耶! 這麼難的東東, 聽起來就讓人頭暈了, 構造也一定很複雜. 別騙三歲小孩了啦, 怎麼可能可以自製呢.
矮油, 沒那麼難啦.
我們都知道, 天上的星星在天球上, 天球以約 23.93447小時轉一圈. (一分鐘轉 0.250684度) (要知道原因請按此連結.)
也就是說, 我們要製造出一個器具, 讓它也是以這樣的速度轉動. 而且轉動軸對準天球轉動的極點. 這樣掛在這個器具上面的相機, 就可以跟天球轉動的速度同步移動囉. 這樣在相機視野裡面的星星, 就不會動啦.
門板追星儀原理示意圖如下
原理很簡單呀, 兩片木板(上面那片姑且叫它'上門板', 下面那片叫它'下門板'), 這兩片其中一邊用一個門板鉸鏈相互鎖在一起, 讓它們可以相互轉動. 在利用一個螺絲(這裏稱呼它為'上升螺絲')鎖在上門板, 來帶動上門板移動.
上升螺絲上面有個把手, 當我們把把手轉一圈, 上升螺絲也會轉一圈. 這樣就帶動上門板移動一個螺紋的距離. 上木板就沿著門板鉸鏈轉動軸轉動一個角度. 只要用手小心控制上升把手轉動的速度, 就可以控制上門板沿著門板鉸鏈轉動軸轉動的速度.
在門板鉸鏈轉動軸那邊我們想辦法放個極軸望遠鏡或是對準孔來對準天球的極軸(北極星). 上升螺絲轉動軸這邊, 我們放個有秒針的手錶, 用手小心翼翼的跟隨手錶上的秒針每分鐘轉動上升螺絲一圈. 根據螺絲螺紋的距離適當的安排這上升螺絲的位置讓上門板轉動的速度跟天球同步. 這樣掛在上門板的相機視野, 也就跟天球同步移動囉. 這樣就是最簡單的追星儀啦!
最後相機指向天體的控制, 就利用上門板的自由雲台來控制. (跟 Vixen Polarie 的追星儀用法一樣)
簡單的計算馬上就可以估算這個重要的上升螺絲在上門板所需要擺放的位置.
假設上升螺絲距離門板鉸鏈(兩片木板的轉動軸)的距離為r, 上升螺絲每轉一圈上升的距離是d (螺絲兩個螺紋間的距離), 上升螺絲每轉一圈上門板移動角度為 theta
只要 r 夠長, r 遠大於 d, 這樣 theta 就會非常小. 這時候 d 大概會等於 r * theta. 所以 d = r * theta
所以 theta = d / r
我們知道, 天球轉動的速度每分鐘是 0.250684 度 = 0.00437527 弧度. 因為我們希望跟天球同步, 所以這個要滿足上升螺絲每轉一圈(一分鐘)所造成的角度差. 意即 0.00437527 = d / r
所以, 最終的公式. 假如我們已經知道上升螺絲兩個螺紋間的距離 d, 這樣只要以下面公式來計算r 並據此安排上升螺絲在木板的位置. 這時候每分鐘轉動上升螺絲一圈, 上木板將以天球轉動的速度同步轉動.
r = d / 0.00437527
上升螺絲的準備:
這個門板追星儀的靈魂就是這個上升螺絲, 它的螺紋距離確定了, 其他的參數就可以確定. 才知道要買多大, 多長的木板來做後續的設計.
這裏小編用很土的方法啦! 於是就跑去了 HomeBox 找啊找的, 物色可能的上升螺絲的人選.
最後找到底下這款, 我覺得長度還蠻夠, 也有螺帽可以將螺絲固定在上木板.
上網找了半天, 想解讀一下上面的螺絲規格. 無奈, 網路上的資料還是太複雜了, 這個規格 3/16*2-1/2" 完全看不懂. 最後, 只好用最笨的方法囉. 先套上兩個螺帽, 做完記號後, 轉10圈. 量測10圈的距離後, 求平均螺距.
10圈的距離, 約 10mm, 所以一個螺距為 1mm
最後, 這樣的螺絲根據公式估算, 上升螺絲的位置為,
r = 1mm / 0.00437527 = 228.56 mm 大約等於 229mm
搞定, 有了這個數字. 再來就是再跑一趟 HomeBox, 買木板跟其他的零件囉!
精確的門板追星儀的公式:
剛剛上面的這個估算, 只是一個近似. 這裏來推導一下, 這樣的門板追星儀的原理下, 最精確的運動公式為何?
(這樣, 我們也才可以把這個追星儀的誤差, 給計算出來.)
首先, 假設門板追星儀的變數如下,
1. 上木板轉動軸到控制上升的螺絲距離為 r, 因為上升螺絲是鎖在上木板來轉動的, 所以上升螺絲永遠與上木板垂直, 且這個的距離 r 永遠固定不變.
2. 上升螺絲頂到下木板, 這段螺絲長度為 l , 這個長度 l 是會隨著時間而變的. 當我們將上升螺絲順時針轉一圈, 這個長度 l 會增加一個螺紋的距離. 所以控制好的話, 速度就是每分鐘增加一個螺紋的距離.
3. 上下兩個木板夾角的角度為 theta. 這個 theta 就是這個追星儀最重要的核心囉. 我們希望當上升螺絲每分鐘轉一圈的時候, 這個 theta 隨時間的變率要剛剛好(或近似)是天球轉動的速度. 這樣鎖在上木板的相機就會跟著天球的轉動同步, 將相機視野內的星體完全鎖定不會移動.
所有變數的關係, 圖示如下
這三個物理量, 滿足很簡單的三角函數關係.
微積分最擅長處理幾個物理量, 當已經知道他們彼此間的關係的時候, 假如我們又對他們之間對時間變率的關係非常感興趣. 透過對時間的微分就可以獲得.
來將兩邊對時間微分吧! 透過 chain rule 展開他們. 記得, 要微分超越函數除了自己微分外, 函數內的東西也要再微分一次!
這邊符號採用古典力學的符號, 對時間的一階微分, 變數上面就點一個點. 對時間的二階微分就變數上面點兩個點(這裏沒用到). 因為這樣看起來比較漂亮簡潔啦!
因為 r = 常數, 所以對時間的微分為零.
化簡合併一下
theta 的變量跟其他物理量的關係, 是我們感興趣的主軸, 所以移到等號左邊囉.
這裏的 theta 我們不喜歡, 可以透過已知的長度關係化簡之! 因為 theta 滿足下面的關係,
帶入化簡, 得到我們最終的精確公式囉:
最終精確公式:
這個公式明確的告訴你, 門板追星儀上木板轉動角度的速度跟所有物理量的關係. 齁齁, 很明顯的, 上木板角度轉動的時變率跟上升螺絲上升的時變率不是線性的. 只有當 l 遠小於 r 的時候, 才會近似是線性的.
來驗證一下
這時候精確公式會變成近似公式,
這時候兩個時變率才是線性的, 也完全符合之前的近似計算公式.
接下來把這個公式放到 Excel 裡面, 計算出所有情況的結果吧. 這裏筆者用的是 Apple Mac系統, 窮苦人家沒有錢買 Office Mac 版本. 所以用 Apple 免錢的試算表軟體 Number 來計算吧.
結果如下:
參數意思如下:
上面 Basic Parameters 就是天球轉動的參數, Sidereal Day 就是一個恆星日的時間. 分別以小時(Hours), 分鐘 (Minutes), 秒(Seconds) 來分別顯示. 最後算出天球轉動的速度 Cellestial Rotation Velocity 以度或弧兩種單位配上每小時, 每分鐘, 每秒鐘共六種方式搭配顯示.
左下 Barn Door Tracker Design, 就是根據近似公式 r = d / 0.00437527 來估算不同的上升螺絲螺距(Pitch Distance)下 d, 上升螺絲可能的擺放位置 r (Screw Position). 在這裡, 我們的螺絲螺距是 1mm 的, 所以 Screw Position 是 229mm. 如果是 1.5mm的螺距, 擺放位置就變成 343mm 囉. 很明顯的, 上升螺絲螺距愈大, 整個追星儀就會變得很巨大. 螺距太小, 製作誤差又會容易變大. 所以最適合的螺距應該在 0.5mm 至 1.5mm 之間啦.
右下 Error Estimation on Barn Door Tracker, 這個是透過精確公式來計算當上升螺絲轉到不同的位置時, 實際上上門板轉動的速度會是多少. Screw Height 就是上升螺絲的高度 l , Screw Position是上升螺絲的位置 r, Plate Rising Velocity 是上升螺絲每分鐘上升的速度 (mm/min). 將這三參數帶入精確公式得到精確上門板轉動的速度Camera Velocity (arc/min). 這個數字再跟天球實際轉動的速度 0.0043752695 (arc/min) 相減得到誤差, 並算出誤差百分比 Error(%)
可以發現, 隨著上升螺絲越轉越高, 追星速度會越來越慢, 誤差也越來越大.
所幸, 實際的追星, 應該不會超過 10分鐘啦. 所以整體來說, 還是可以有一定的準確度.
另外, 逆向思考. 假如有一天真的要發展步進馬達版本的門板追星儀. 也可以利用單晶片(8051之類的)將這個公式內建, 反修正回來最後得到百分之百沒有誤差的門板追星儀喲!
最後, 花了一點時間, 終於 DIY 製作出來囉.
請點選收看 自製門板追星儀 Barn Door Tracker 實際製作篇
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